İlk durağımız ünlü Rus matematikçi Anotalii T. Fomenko’nun çalışmaları var. Özgeçmişinden Anlaşıldığına göre Fomenko,tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı boyunca ödüllerle ve ma- dalyalarla dolu.Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü’nde tamamlamıştır.Başarılı akademik kariyeri boyunca 140 ‘dan fazla yayımlanmış makalesi ve 16 ‘ yı aşan kitabı bulunmaktadır.
Böylesi güçlü matematikçi kimliğin yanında resim, küçük yaşlardan beri amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle sürdürülen bir uğraş olarak belirir.Matematiği hep çizerek ifade etmiştir.Bunun nedenini açıkça belirtir:”...Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim il- ginç ve ilgi çekici matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar.Banagöre önemli olan sanat-çı olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır.Böylece diğer insanlarda bu dünyaya katılabilirler.” (4)
FOMENKO İLE TOPOLOJİ:
Fomenko, daha çok matematikteki çalışma alanı olan topolojik nesneleri ve olayları resmeder.Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen ve yaygınlaşan alanı olarak bilinir. Kabaca ” esnek madde geometrisi” olarak anımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına gelmeyen esnek bir maddeden yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebil-lir.Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzüştürülerek veye çekip genişletilerek yapılan bu dönüşüm fonksiyonu homeomorfizmdir.Bir karenin daireye, kübün piramite, bir torusun kahve fincanına, üç kulplu kürenin üçlü torusa,daha da ilginci bir noktası atılmış kürenin reel düzleme (R2) home-omorfik olması gibi.
Topoloji öğrenmek insanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü konu olan nesneler ve bunların elde edilme yöntemleri olağan dışı özellikler gösteriyor.tecrübe etmek için şekil 2’de görülen esnek dikdörtgenleri ok yönünde yapıştırın. Fiziksel anlamda bu işlemleri sonuçlandırmak genelde mümkün değildir. Bu yüzde dış gücünüzü yardıma çağırmanız gerekecek. Bu yöntemle oluşturulan Mobius şeridi tek yüzlü yönlendirilemeyen bir nesnedir. Bir diğride ünlü Klein şişesi, iki Mobius şeridini yapıştırılması ile elde edilir.
FELİX CHRİSTİAN KLEİN:
Klein, 25 Nisan 1849’da şimdi Almanya, o zamanlar Prusya sınırlarına dahil olan Düsseldorf’ta doğmuş ve hayata gözlerini 22 Haziran 1925’de, Almanya’nın Göttingen kentinde kapamış. Klein, doktarasını 1868 yılında yıllar boyu matematik ve fizik alanlarında çalışma yaptığı Bonn Üniversitesi’nden almış.Çeşitli üniversitelerde öğretim görevlisi olarak çalışmalarda bulunduktan sonra 1886’da kürsü başkanlığına kadar yükseldiği Göttingen Üniversitesi’ndeki çalışmalarını vefatına kadar sürdürmüştür.
MATEMATİK DÜNYASINI FOTOĞRAFLAMAK:
Topoloji, matematikçinin oyun düşkünlüğüyle iyi örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir yığın görsel
malzemeyle dolu.Tabiki matematikçiler için asıl heyacan verici olan bu oyunların ardındaki teori Fomenko ise doğası doğası kolay algılanamayan bu dünyayı resmetmeye çalışır. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta neler olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı,yol boyun-
ca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak ister ve bunu fotoğraf çekmeye benzetir. Gördükle-
rini ve hissettiklerini belgelemek için çizer.Resimlerinde kurguladığı mekanlarda Rus masalları,
Yunan mitolojisi, antik çağın öykülerinden faydalanır. Eserlerindeki mistik ve dinsel hava da
bundan kaynaklanıyor olmalı. Mekânlar alabildiğine büyük; insanlar alabildiğine küçük! Sanki
herşey bu zavallı insanların dışında geliyor ve onların acizane yapabildiklerini hiç birşey etkili olamıyor: ‘Biz, şu öğrenen adamlar, tahmin edemediğimiz şeylerin her an olabileceği,fırtınalı bir
dünyada yaşıyoruz’. Resimlerin kaotik yapısı, izleyici zor durumda bırakacak kadar karışık bir-
çok detayla dolu olması bu fikre dayanıyor.
MÜZİK VE MATEMATİK:
Müzik ve matematik ilişkisi Fomenko’nun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova
Üniversitesi Topaz Müzik Grubu’nda müzik yapan Fomenko’nun resimleriyle müzik arasında ö-
nemli bağlar bulunur. Fomenko’ya göre müzikle matematiğin temel motifi sonsuzluktur: ‘Profes-
yonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramıyla ilgilenirler.Bu yüzden, tam olarak ta-
nımlanamasada sonzuza ait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açıkça görülmese de bu
durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir’.
(4).Sonsuzluğun görsel ifadesine daha önce Escher’de tanık olmuştuk.Fomenko’da bu ifade mate
matiksel sonsuzluk (Mathematical Infinity) resminde belirtiyor:kocaman bir kafa ve ona yakınsa-yan ve acı içinde bağıran bir yığın yüz.Topolojik açıdan bakıldığında tüm insanlar birbirine ho-
meomorfiktir; deforme edilerek biri diğerinden elde edilebilir. Tek ve ideal bir kahraman olsa
bütün insanlar ona dönüştürülülebilir.tipik bir limit probleminin görüntüsü olarak düşünülebile-cek bu resimde sonsuzdaki(?) bu kahramana ulaşmak / ulaşamamak, oldukça acı verici görünü-yor.
Fomenko’nun görüntülediği bu dünyada onun izlenimlerine tanık olmak pek de kolay değil. Oldukça detaylı, karışık,iç içe geçmiş yapılar;koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler , zor kav
ramlar...Saanatçının kendisi de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlaşılama-yacağını itiraf etmektedir.
BRONZ VE TAŞ ÜSTÜNE KURAMLAR:
Üçüncü durağımız oldukça renkli bir kişilik ,Amerijalı sanatçı Heleman R.P. Ferguson.Sanat eği-timini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji’nde yapan Ferguson, matematik profesörlük derecesini Washington Üniversitesi’nde almıştır.Bilgisayar destekli ve bunun için yazılacak al-
goritmalar üzerine yapılan araştırmalar yapmıştır. Yaşamını heykel yaparak sürdüren sanatçı,
matematiğin kendine özel estetik bir tarafı olduğuna inanmaktadır.Ferguson ,”Matematiğin kay-
nağı, enerjisi , zekası, sofistike yapısı estetik sanat esrlerinin yaradılışını geliştirmek üzere kul-
lanılırsa ne olur?” sorusunun cevabını arar.Sanatçı Haziran 1991’de New York Bilimler Akade-
misi’nde izlenen “Bronz ve Taş Üzerine 16 Kuram” adlı sergisi bu soruya bir cevap niteliği ta-şır.Ferguson yaşamsal görünümlerin tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği bir sanat ve bi-lim formunda heykelleştirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelliği duyumsatarak önyargı-latımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır.Bu misyonu şöyle ifade eder: ”Güzellik ve gerçek :heykellerimin birleştirip yücelltiği iki olgu.Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelliği ve zihni harrekete geçiren matematiksl gerçek. Benim yaptığım bu.”(2)
Matematiksel gerçek ve matematiksel estetik, Umbulic Torus Nist NC’de vücut bulmuştur. Hey-
Kelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, eski eserleri anımsatan rengi, Fer-
guson’nun yaratıcılığı ve yetkinliği hakkında ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yanı
ise onun yaratılış sürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandığı heykel formu
ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 kübik reel binom denkleminin a, b, c, d katsayılarının dört boyutlu reel
uzayda parametrizasyonu sonucunda elde edilir. Bu işlem 2 x 2 reel elemanlı, tersi hesaplanabilir matrislerin oluşturduğu grubun x ve y değişkenleri üzerindeki etkisinedayanılarakyapılır.Yapılan
işlemler sonrasında oluşan farklı görüntüler arasında Euclid uzayındaki en güzel form sanatçı seçiliğiyle belirlenir. Bu bir umbilic torustur.
Heykelin formu yanında dokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurma eğrisinin
5. dereceden uygulamasıyla elde edilir(şekil 3). Uzay doldurma eğrisi bir doğru parçasından bir
düzleme tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.Şekil 3’te görüldüğü gibi eğri sürekli tek-
rarlanan bir işleme inşa edilmiştir.
Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlandığında eğrinin düzlemi bir noktadan bir ve sadece bir kere
geçerek dolduracağı ispatlanabilir. Tek boyutlu eğri giderek iki boyutlu düzleme yansımakta-dır(Bu ve buna benzer eğriler bugün tanımlanmış olan fraktal yapıların temelini oluşturmuşlardı)
Heykel ve doku şekillendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarılır ve sa-
yısal kontrollü oyma makinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktı geleneksel heykel teknikle- riyle bronza dökülerek son halini alır. Heykel doğduğu kuramdan daha fazlasını aktarıyor: ”Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlam düzeyine ve kendi orijininin tanım-
landığından daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykel değil.Ben so-
yut matematiğin tahmin edilmeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum.” (2)
Bir diğer macera, mermer kullanarak oyma tekniğiyle yapılmış Whaledream 2 . Whaledream 2, Alexander'ın Boynuzlu Küresi (Alexander’s Horned Sphere) olarak bilinen yapının bir çeşitle-
mesi olarak karşımıza çıkıyor. Alexander’ın Boynuzlu Küresi’nin ilginç bir öyküsü vardır. J.W.
Alexander 1921’de, düzlemdeki bütün kapalı eğrilerin topolojik bir diski sınırladığını söyleyen
Schoenflies Toeremi’nin genelleştirilmiş halini yayımladı. Alexander bu yayında, üç boyutlu
Euclid uzayında iki boyutlu topolojik kürenin üç boyutlu topolojik bir topu sınırladığını söyle-
mişti. Bu önermenin yanlışlığı örneklerle ispatlandı. Alexander, bu yanlışlığın farkına vararak
kendi karşı-örneğini üretti. Bu da Alexander’ın Boynuzlu Küresi olarak bilinen yapıdır. İnşası uzay doldurma eğrilerine benzeyen Alexander’ın boynuzlu küresini şöyle tarifleyebiliriz(şekil 4)
Bildiğimiz küreyi deforme ederek iki boynuz çıkaralım ve bunları birleştirecakmiş gibi karşı karşıya getirelim. Birleştirmeden her bir boynuzdan iki boynuz daha çıkaralım ve bunları yine birleştirecekmiş gibi karşı karşıya getirelim...Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlanabilir ve işlemin
limiti alınırsa bize bilinen küreyi verir. Elde edeceğimiz çok boynuzlu kürenin normal küreye
denk oluşu şaşırtıcı değil. Çıkardığımız boynuzları hiç birleştirmedik! (Birleştirseydik bir kulp
yapmış olacaktık ve tabii ki kulplu bir küre normal küreye homeomorfik değildir). Bu ve buna
benzer akıcı yapılar sanatçının heykellerinde sıklıkla görülür.
Ferguson’un heykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısından değil, onların gerisin-
deki ilgimç kuramlardan doğuyor.Eserlerindeki yalınlık, süreklilik, yumuşaklık; bronzun, taşın
ve kuranın soğukluğuna karşı duruyor.
M.C. ESCHER
Son olarak M.C Escher’e uğruyoruz.1898 ve 1971 yılları arasında yaşamış Hollandalı grafik sa-
natçısıdır. Mimarlık eğitimi almıştır. Escher’in sanatı, aldatıcı bir perspektif kullanarak çevreyi iki boyuta indirgemeye dayanır. Şekillerini incelerken göz yanılması meydana gelir. Ayrıca siyah
beyazın kesin karşıtlığı, gölgeleme ve belli belirsiz ton farklılıkları gibi grafik teknikler üzerinde
çalışmıştır.
Escher matematik ya da fizik üzerine cidi bir eğitim almamış olmasına karşın, dönemin ünlü matematikçileri tarafından saygıyla ve ilgiyle takip edilmiştir.Escher’in ölümünden sonra onu ör-
nek alan pek çok grafik sanatçısı vardır. Escher’in tekniğiyle yapılan çizimler günümüzde de mevcuttur.
Onun eserleri matematiğin görselleştirilmesi konusunda verilmiş ilk örneklerdir. Sanatçının ken-disi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir:“Bizi saran muammaları göğüsleyerek ve yap-tığım gözlemleri analiz ederek matemetiğin egemen olduğu alana eriştim.Bilim eğitiminden yok-sun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan çok matematikçilere yakın hissettim.”. (1) Bahsettiğimiz kişiler halihazırda Escher’den etkilenmiş, hatta onunla iletişime geçmiş kişilerdir.
Sanatçının çalışmalarını birer “ilk” veya “önder” olarak kabul edebiliriz.Yine de Escher’in mate-matiksel bir kaygıyla yola çıktığını öne sürmek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları ya-ratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden geçirirsek
eserleri birkaç grupta ele alabiliriz:
DÜZLEMİ DÜZENLİ OLARAK BÖLME:
Bu teknikle yaptığı resimlerde sanatçı, bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeye-cek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi (Plane Tiling Problem) ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp ta-nımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri-özellikleri balık-kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu gruta toplanan çalışmaları arasında en etkiliyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı “Çember Limiti” (Circle Limit) serisidir (şekil 5).Hiperbolik düzlem Euclid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir.
METEMORFOZLAR:
Bu seride yüzey-figür ilişkisi çarpıcı bir şekiilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yol- culuk da resmedilir.“Sürüngenler” ve “Gece ile gündüz” isimli resimlerindeki bu özellik,1978’de Roma’da çekilen matematik üzerine yapılmış bir dizi filmde animasyon tekniğiyle canlandırıl-mıştır. Formda doğa da değişim anlamına gelen aaaamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği boz-madan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür.
PARADOKSLAR:
Paradoks: Görnüşte yanıltıcı olan şey yada durumdur.Paradosklar, bilinen batı felsefesinin baş-
langıcına dayanır.Paradokslar çok uzun yıllardan buyana olmalarına rağmen matematik dünyası bunları 20 yy. da keşfetmiştir.
Escher’in en vurucu işleri paradoks ve sonsuzluk kavramlarını işlediği resimlerdir. İmkansız fi-gürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür.Döngüsel paradoksları yaratmak için
kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarıya ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gere- ğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz.Bu gibi döngüler Bach’ın müziğinde de yer alır.
Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanılarak adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü “Gödel Escher ve Bach” adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın önemli makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlar. Escher’in “Re- sim Galerisi” adlı eseri -kabaca- bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir re-sim aynı anlatıma ulaşıyor!!
Escher’in eserlerinin okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır.Dik-
katli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz.Escher olduk-ça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamında ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher,matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etki-leyegelmektedir.
MATEMATİK VE SANAT ÜZERİNE
Matematikle sanat oldukça farklı alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı. İlk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortak- lıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanoğlunun içine doğ-duğu ortamı anlama çabası sonucu doğadan doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu, hatta yeniden sunumudur. Sayılar, denklemler, bu halleriyle doğada yoktur ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar. Her iki alanda ilgilenmek insanın entellektüel etkinliğini artırır. Kişi matematik öğre-nerek veya sanatla uğraşarak, burada sıralamaya gerek olmayan kazanımlar elde eder. Ne yazık
kısır gündelik yaşantımız içinde bunun farkına varamayız!
Mathart:matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri .Bu sonucu karşımıza çıka-
ran kişiler matematiği yeni bir iletişim alanına taşımak istiyorlar. Bu, sanat eserinin etki alanı-
dır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker.Böylece daha çok insan mate-
matiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir.Matematiksel sanat, bu kendine özgü savıyla merak etmeye değer.
Kaynaklar:
Bilim Teknik dergisi/1995/kasım
1)Boll F.H. Escher Complete Graphic work,Thomes and Hudson 1993
2)Connon J.W. “Mathematics in marble and Bronz:.Sculptures of Heleman R P .Ferguson”
Matematical intelliger cilt 13 sayı1 kış 1991
3)Coxeter H.S.M. Escher Art and Science,Elsevier scienca publishers 1990
4)Fomenko,A. Mathhematical impresssions, America Mathematical Society,1990
Bilim Teknik Dergisi:1997/şubat
matematik ve diğer bilimlerle ilişkisi
Normal
